Ответ: Плющ.

Комментарий: Героиня говорит, что не может оставаться одна, как плющ, который начинает стелиться и гибнет, если не может зацепиться за стену или дерево. Можно сказать, что плющ в новелле "Последний лист" О. Генри отсчитывал оставшееся время жизни героини, а его опадающие листья играли роль песчинок в песочных часах.