"Зимняя война", как и "холодная война", является устойчивым термином (
ссылка
Не упоминается никаких деталей, на основании которых может быть сделан вывод о том, какие культурные реалии могут быть упомянуты в вопросе (японский это мультик или африканский, советский или американский, российский или финский). Не сообщается также о том, что высказывание персонажа являлось шуткой. Из текста вопроса не понятно, чего именно хотят добиться персонажи, в какое время происходит эта борьба (в декабре, феврале, марте, конце концов).
В тексте вопроса сказано: "персонажи пытаются противостоять приметам, согласно которым весна наступит нескоро". Иными словами, они хотят, чтобы зима закончилась скорее, но успеха в борьбе с зимой не добиваются.
Таким образом, никакой возможности сделать однозначный вывод, имеется ли ввиду "зимняя война" или "холодная война", на основании текста вопроса у нас не было, а вариант "зимняя война" также соответствует описанным условиям.