При подстановке слов «плитка» и «туалет» в текст вопроса получается «… во время созерцания плитки в туалете». Из этого очевидно, что имеется в виду туалет как комната, а не сам унитаз. Потому что «в унитазе» плитки, конечно, нет.
В источниках на языке оригинала, например в книге A beautiful mind. Sylvia Nasar. Ch 6. Games, эта комната называется «bathroom»:
«It was a rhombus covered with hexagons. It looked like a bathroom floor. The two young men were taking turns putting down black and white go stones and had very nearly covered the entire board.»
Еще
ссылка
«There is a rumor that the game was also known as "John" at Princeton because it could be played on the hexagonal tiles of a bathroom floor. However, Hayward and Toft state that they were unable to find any records or other evidence to support this claim.»
Или
ссылка
«The game was called Nash, whimsically also known as John, referring to hexagonal bathroom tiles.»
Слово «bathroom» имеет в английском языке следующее определение: «a room with a bath and/or shower and often a toilet» (Cambridge
ссылка Аналогичное определение есть и в американском английском: «a room containing a bathtub or shower and usually a sink and toilet» (Merriam-Webster
ссылка
В русском языке слово «душ» может в том числе означать и «помещение с душем» и является синонимом слова «душевая» (
ссылка
В комментарии автор упоминает, что подтверждения этой истории нет. Поэтому невозможно совершенно точно утверждать, где именно Нэш придумал Hex.
Ключевым моментом этой истории является лишь наличие шестиугольной плитки. В контексте вопроса слова «туалет», «душ», «ванная», «душевая», «уборная» можно считать синонимичными переводами слова «bathroom».
Просим засчитать наш ответ «плитка, душ» как полностью соответствующий и форме, и содержанию вопроса.